Gorenstein ideals of codimension 4 and combinatorics of Stanley-Reisner rings

Abstract

Gorenstein ideals play an important role in modern commutative algebra as well as algebraic geometry and algebraic combinatorics. In codimension 3, Gorenstein ideals are fully described by the structure theorem of Eisenbud and Buchsbaum, which states that a Gorenstein ideal of codimension 3 is always generated by an odd number of Pfaffians of a skew-symmetric matrix. This thesis investigates among other things the structure of minimal free resolutions of Gorenstein Stanley-Reisner ideals of codimension 4. We use methods of homological algebra in our combinatorial investigation of simplicial d-polytopes with d+4 vertices. We leave to the inclined reader a conjecture about the associated Gorenstein Stanley-Reisner ideals to simplicial neighbourly 2d-polytopes with 2d+4 vertices.

Gorenstein Ideale spielen eine große Rolle in verschiedenen Anwendungen der kommutativen Algebra sowie algebraischen Geometrie und algebraischen Kombinatorik. In Kodimension 3 sind Gorenstein Ideale vom algebraischen Gesichtspunkt vollständig durch den bemerkenswerten Struktursatz von Buchsbaum und Eisenbud beschrieben, welcher besagt, dass ein Gorenstein Ideal der Höhe 3 stets durch die Pfaffschen Determinanten einer geeigneten Matrix erzeugt ist. Wir haben einige Fortschritte für die Struktur von minimalen freien Auflösungen von Gorenstein Stanley-Reisner Idealen der Kodimension 4 erzielt. Damit verknüpfen wir die homologischen Methoden der kommutativen Algebra mit der kombinatorischen Untersuchung von simplizialen d-Polytopen mit d+4 Ecken. Dem geneigten Leser überlassen wir eine Vermutung über die assoziierte Gorenstein Stanley-Reisner Ideale zu simplizialen d-benachbarten 2d-Polytopen mit 2d+4 Ecken.