Die Geometrie der Lyonsgruppe

Abstract

Die Lyonsgruppe, kurz Ly, ist eine der 26 sporadische Gruppen. 1981 konstruierte William Kantor eine Geoemtrie Delta vom Rang 3, auf der Ly als fahnentransitive Automorphismengruppe operiert. Ein Residuum vom Rang 2 in Delta ist dabei entweder ein verallgemeinertes Hexagon, eine projektive Ebene oder ein verallgemeinertes Digon, jeweils der Ordnung 5. Nach einem Satz von Jacques Tits ist die universelle Überlagerung von Delta ein affines Gebäude mit gleichem Diagramm. Daher kann Delta als die natürliche Geometrie für Ly betrachtet werden. In dieser Arbeit wird Delta dazu benutzt, die Eindeutigkeit der Lyonsgruppe zu zeigen. Dazu betrachten wir eine Familie von dünnen Untergeometrien von Delta, genannt Apartments. Wir zeigen, dass die Fundamentalgruppe von Delta von den Fundamenentalgruppen der Aparments erzeugt wird. Daraus folgern wir, dass Ly die universelle Komplettierung eines Amalgams vom Rang 3 ist und dadurch eindeutig bestimmt ist. Außerdem untersuchen wir die universelle Überlagerung von Delta, das damit verbundene Gebäude im Unendlichen sowie deren Automorphismengruppen.

The Lyons Group, short Ly, is one of the 26 sporadic groups. In 1981, William Kantor constructed a geometry Delta of rank 3 on which Ly operates as a flag-transitive automorphism groups. A rank 2 residue in Delta is either a generalized hexagon, a projective plane or a generalized digon, each of order 5. Due to a theorem by Jacques Tits the univesal cover of Delta is an affinie building with the same diagram. Therefore, Delta can be viewed as the natural geometry for Ly. In this thesis, Delta is used to proof the uniqueness of the Lyons Groups. For this purpose, we regard a familiy of thin subgeometries of Delta, called apartments. We show that the fundamental group of Delta is generated by the fundamental groups of Delta. We conclude that Ly is the universal completion of an amalgam of rank 3 and therefore uniquely determined. Furthermore, we examine the universal cover of Delta, its building at inifinity and their automorphism groups.