Product systems from a bicategorial point of view and duality theory for Hopf C*-algebras

Abstract

In the first part of this doctoral thesis we want to take a look at product systems from a new point of view and reveal the structure that lies behind them using bicategory theory. After a short introduction to bicategory theory, we show that Fowler's product systems are special morphisms from a semigroup S to the bicategory C*ARR. Thus, we can give a more elegant definition of the notion of a product system by defining them as morphisms from an index category J to the bicategory C*ARR.

We will associate two C*-algebras to every given product system, namely the corresponding reduced Toeplitz algebra and the corresponding reduced Cuntz-Pimsner algebra. Studying various special cases shows that our method of constructing the reduced Toeplitz and Cuntz-Pimsner algebras generalizes many other constructions of C*-algebras. Moreover, we will introduce the universal Toeplitz algebra and the universal Cuntz-Pimsner algebra. We recall the notion of the bicategorial colimit for a morphism and we show that for certain product systems the universal Toeplitz algebra can be viewed as the bicategorial colimit object for this product system.

In the second part of the thesis we develop a duality theory for locally compact semigroups using the concept of Hopf C*-algebras, which can be viewed as generalized locally compact semigroups. We develop a sufficient condition on Hopf C*-algebras H that allows us to construct a corepresentation of H on a distinguished Hilbert space. Using this regular corepresentation, we can define the reduced dual C*-algebra of a Hopf C*-algebra. The duality between these C*-algebras can be viewed as an analogue of Pontryagin's duality theorem. Finally, we introduce the reduced crossed product of a dynamical cosystem and treat an analogue of Takai's duality theorem for crossed products by C*-arrows.

Im ersten Teil dieser Doktorarbeit wollen wir Produktsysteme von einem höheren Standpunkt aus betrachten und mit Hilfe der Bikategorientheorie die Struktur offen legen, die sich hinter ihnen verbirgt. Nach einer kurzen Einführung in die Bikategorientheorie zeigen wir, dass es sich bei den Produktsystemen von Fowler um spezielle Morphismen von einer Halbgruppe S in die Bikategorie C*ARR handelt. Somit können wir eine natürlichere und elegantere Definition für Produktsysteme angeben, indem wir definieren, dass ein Produktsystem ein Morphismus von einer Indexkategorie J in die Bikategorie C*ARR ist.

Wir ordnen jedem Produktsystem seine zugehörige reduzierte Toeplitz- und seine zugehörige reduzierte Cuntz-Pimsner-Algebra zu. Desweiteren untersuchen wir diverse Spezialfälle, die zeigen, dass unsere Konstruktionsmethoden für die reduzierten Toeplitz- bzw. Cuntz-Pimsner-Algebren viele andere Konstruktionen von C*-Algebren verallgemeinern. Anschließend führen wir die universelle Toeplitz- und die universelle Cuntz-Pimsner-Algebra ein. Wir wiederholen den Begriff des bikategoriellen Kolimes für einen Morphismus und zeigen, dass für gewisse Produktsysteme die zugehörige universelle Toeplitz-Algebra als das bikategorielle Kolimesobjekt dieses Produktsystems betrachtet werden kann.

Im zweiten Teil der Arbeit entwickeln wir eine Dualitätstheorie für lokalkompakte Halbgruppen und greifen dabei auf das Konzept der Hopf C*-Algebren zurück, die man als verallgemeinerte lokalkompakte Halbgruppen betrachten kann. Wir entwickeln eine hinreichende Bedingung an die Hopf C*-Algebra H, die es uns ermöglicht, eine Kodarstellung von H auf einem ausgezeichneten Hilbertraum zu konstruieren. Mit Hilfe dieser regulären Kodarstellung können wir dann die reduzierte duale C*-Algebra einer Hopf C*-Algebra einführen. Die Dualität zwischen diesen beiden C*-Algebren kann als Analogon zum Dualitätssatz von Pontryagin betrachtet werden. Schließlich führen wir das reduzierte verschränkte Produkt zu einem dynamischen Kosystem ein und behandeln ein Analogon zum Dualitätssatz von Takai für verschränkte Produkte durch C*-Pfeile.