Quantenstochastische Integration in Hilbertmoduln

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dc.contributor.advisor Kümmerer, Burkhard de_DE
dc.contributor.author Hellmich, Jürgen de_DE
dc.date.accessioned 2002-03-25 de_DE
dc.date.accessioned 2014-03-18T10:10:00Z
dc.date.available 2002-03-25 de_DE
dc.date.available 2014-03-18T10:10:00Z
dc.date.issued 2001 de_DE
dc.identifier.other 099092506 de_DE
dc.identifier.uri http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:21-opus-4788 de_DE
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/10900/48345
dc.description.abstract Im Rahmen einer nichtkommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie entstehen viele stationäre (Quanten-)Markov-Prozesse durch Kopplung eines quantenmechanischen Systems an ein Wärmebad. Wir beschreiben dieses Bad durch ein verallgemeinertes weißes Rauschen, d.h., einer von Neumann Algebra mit einem treuen normalen Zustand, einer Zeitenwicklung und einer Filtrierung durch eine Familie von von Neumann Unteralgebren, indiziert durch Zeitintervalle. Das weiße Rauschen ist operatorwertig und setzt daher die Existenz einer bedingten Erwartung auf das quantenmechanische System voraus. Stochastische Unabhängigkeit wird dadurch beschrieben, daß die bedingte Erwartung des Produkts zweier Elemente aus von Neumann Unteralgebren zu disjunkten Zeitintervallen faktorisiert. Die Kopplung ist durch einen unitären Kozyklus bzgl. der Zeitentwicklung des weißen Rauschens gegeben. Sie soll als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen werden. Zu diesem Zweck betten wir das algebraische System auf kanonische Weise in ein Hilbertmodul ein. In diesem Raum lassen sich additive Kozyklen zum weißen Rauschen als Verallgemeinerung der klassischen Brownschen Bewegung definieren. Mit ihrer Hilfe entwickeln wir stochastische Integrale vom Ito Typ und eine Theorie stochastischer Differentialgleichungen. Als zentrales Ergebnis beweisen wir eine 1-1-Beziehung zwischen bestimmten additiven Kozyklen und unitalen Kozyklen, die die Anpassung des algebraischen Begriffs eines unitären Kozyklus an die Hilbertmodul-Situation darstellt: Ausgehend von einem unitalen Kozyklus liefert eine Standardkonstruktion einen additiven Kozyklus, während der unitale Kozyklus als Lösung einer geeigneten stochastischen Differentialgleichung gewonnen wird. Für den Fall eines unitären Kozyklus erhalten wir einen stationären Markov-Prozeß als Dilatation einer Halbgruppe von Übergangsoperatoren. Ihren Lindblad-Generator können wir mit Hilfe der additiven Kozyklen identifizieren de_DE
dc.description.abstract In the scope of non-commutative probability theory many stationary (quantum) Markov processes arise from couplings of a quantum mechanical system to a heat bath. We model this heat bath by a generalized white noise, that is a von Neumann algebra with a faithful normal state, equipped with a time evolution and a filtration given by a family of von Neumann subalgebras indexed by time-intervals. Moreover, the white noise is operator valued and therefore requires the existence of an initial conditional expectation onto the von Neumann algebra of the quantum mechanical system. Stochastic independence is described by a factorization property of the product of elements from two von Neumann subalgebras with disjoint time intervals under the initial conditional expectation. The coupling is given by an unitary cocycle with respect to the white noise evolution. It is supposed to be the solution of a stochastic differential equation. With this in mind we embed the white noise in a canonical way into a Hilbert module. In this module non-commutative generalizations of classical Brownian motion show up as additive cocycles with respect to the white noise evolution. They give rise to stochastic integrals of Ito type and a theory of stochastic differential equations. As a main result we prove a one-to-one correspondence between certain additive cocycles and unital cocycles, an adaption of the algebraic notion of unitary cocycles to Hilbert modules: Starting from a unital cocycle a standard construction yields an additive cocycle, whereas the unital cocycle is the solution of an appropriate stochastic differential equation. In case of a unitary cocycle we obtain a stationary quantum Markov process as dilation of a semigroup of transition operators. Its Lindblad generator is identified in terms of additive cocycles. en
dc.language.iso de de_DE
dc.publisher Universität Tübingen de_DE
dc.rights ubt-podok de_DE
dc.rights.uri http://tobias-lib.uni-tuebingen.de/doku/lic_mit_pod.php?la=de de_DE
dc.rights.uri http://tobias-lib.uni-tuebingen.de/doku/lic_mit_pod.php?la=en en
dc.subject.classification Nichtkommutative Wahrscheinlichkeit , Quantenrauschen , Quantenmechanisches System / Dissipatives System de_DE
dc.subject.ddc 510 de_DE
dc.subject.other Quantenstochastik , Quantenstochastische Differentialgleichung , Verallgemeinertes weißes Rauschen , Hilbertmodul de_DE
dc.subject.other quantum stochastic calculus , quantum stochastic differential equation , generalized white noise , Hilbert-module en
dc.title Quantenstochastische Integration in Hilbertmoduln de_DE
dc.title Quantum Stochastic Integration in Hilbert Modules en
dc.type PhDThesis de_DE
dc.date.updated 2002-03-27 de_DE
dcterms.dateAccepted 2002-03-05 de_DE
utue.publikation.fachbereich Sonstige - Mathematik und Physik de_DE
utue.publikation.fakultaet 7 Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät de_DE
dcterms.DCMIType Text de_DE
utue.publikation.typ doctoralThesis de_DE
utue.opus.id 478 de_DE
thesis.grantor 12/13 Fakultät für Mathematik und Physik de_DE

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