Rational Polytopes in Combinatorics and Algebraic Geometry

Abstract

In dieser Dissertation werden rationale Polytope untersucht, wie sie an der Schnittstelle von Kombinatorik und algebraischer Geometrie auftreten. Mithilfe der Gitterbreite erhalten wir zunächst neue Flächenschranken für ebene konvexe Mengen. Im Rahmen der Ehrhart-Theorie klassifizieren wir die Ehrhart-Polynome halbzahliger Polygone. Außerdem untersuchen wir, motiviert durch die birationale Geometrie nicht-degenerierter torischer Hyperflächen, das Fine Interior von Polytopen und geben eine rein kombinatorische Beschreibung von dessen Verhalten unter Dilatationen. Schließlich entwickeln wir effiziente Klassifikationsalgorithmen für einige Fine Interiors sowie für rationale Polygone mit kleinem Nenner und erhalten Verallgemeinerungen der Ungleichung von Scott und der Formel von Pick auf rationale Polygone.

This dissertation investigates rational polytopes in combinatorics and algebraic geometry. Using lattice width data, we first establish new area bounds for planar convex bodies. Within Ehrhart theory, we classify the Ehrhart polynomials of half-integral polygons. Furthermore, we study the Fine interior of polytopes and provide a purely combinatorial description of its behavior under dilations, motivated by the birational geometry of nondegenerate toric hypersurfaces. Finally, we develop efficient classification algorithms for some Fine interiors as well as for rational polygons with small denominators, leading to generalizations of Scott's inequality and Pick's formula to rational polygons.