Structural and Enumerative Studies of Tropical Curves and Covers

Abstract

Die vorliegende Dissertation ist dem strukturellen und enumerativen Studium tropischer Kurven und Überlagerungen gewidmet. Die Analyse erfolgt anhand zweier spezifischer Forschungsfragen: Tropische spaltende Jacobische und tropische spin Hurwitzzahlen mit abgeschlossenen Zykeln. In Teil 1 geht es umdasZusammenspielvontropischenKurvenundtropischen abelschen Varietäten. Wir untersuchen strukturelle Aspekte tropischer spaltender Jacobischer von Kur ven vom Geschlecht 2, und zwar sowohl auf globaler wie auch auf atomarer Ebene. Global erreichen wir ihre Charakterisierung in der Kategorie tropischer Kurven TC (durch Über lagerungen) und in der Kategorie tropischer abelscher Varietäten TA (als Quotient eines direktes Produkt von zwei elliptischen Kurven). Atomar identifizieren wir ihre Bausteine, ein Paar von Geschlecht 1 Kurven zusammen mit einer gewissen Untergruppe ihres direkten Produkts, und rekonstruieren daraus die Charakterisierungen in TA und TC. Wir nutzen die atomare Perspektive, um unser Verständnis von spaltenden Jacobischen weiter zu kon densieren und gehen zu ihrer Betrachtung im Modulraum tropischer Kurven bzw. prinzipiell polarisierter tropischer abelscher Varietäten über. Hier untersuchen wir eine Variante des tropischen Schottky Problems für spaltende Jacobische bzw. dessen Umkehrung. Wann immer möglich, nutzen wir tropische Geometrie, um abstrakte Charakterisierungen durch konkrete Algorithmen zu untermauern. In Teil 2 geht es um das Zusammenspiel von tropischer Geometrie mit anderen Diszi plinen. Wir nutzen diese Interaktion (im Rahmen der enumerativen Geometrie) zur Unter suchung einer geometrisch motivierten Zahl aus, der Spin Hurwitzzahlmit abgeschlossenen Zykeln. Dazu führen wir eine tropische Zählung von verzweigten Überlagerungen ein, welche mit der ursprünglichen Zahl übereinstimmt, und verwenden schließlich Methoden der tropischen Geometrie, um strukturelle Eigenschaften dieser Zahl (Polynomialität und Wanddurchquerungsformeln) zu untersuchen.