Locality in Quantum Lattice Systems

Abstract

This thesis analyses several locality properties of extended quantum lattice systems, considering both spins and fermions. We begin by assuming locality of the Hamiltonian and then discuss how this translates into locality of the time evolution and the thermal states.

Starting from a local Hamiltonian, it is well known that the Heisenberg time evolution satisfies Lieb-Robinson bounds, which quantify its locality. We strengthen these bounds for long-range interacting fermions and for commuting interactions. Furthermore, we establish the first Lieb-Robinson bounds for Hamiltonians whose local terms can grow linearly away from the origin. We also prove stability of Lieb-Robinson bounds with respect to local perturbations in the Hamiltonian.

For the thermal states we focus on three types of locality known as decay of correlations, the local perturbations perturb locally (LPPL) principle and local indistinguishability. As a key tool we use spectral filters, which were introduced by Hastings in the 2000s for various applications. It enable us to use Lieb-Robinson bounds to obtain information about locality properties of states. In particular, we use quantum belief propagation to prove an equivalence of decay of correlations, LPPL and local indistinguishability for Gibbs states at any positive temperature. Using the improved Lieb-Robinson bounds mentioned before, we obtain improvements for decay of correlations in the ground state, the locality of the spectral flow and LPPL for long-range interacting systems and commuting Hamiltonians. Furthermore, we adjust the filter functions to achieve exponential decay for certain applications that were previously limited to stretched exponential decay.

Spectral filters are also used to rigorously justify response theory, which usually requires a gapped system to begin with. To relax this assumption, we introduce various notions of local gaps, discuss their relations and use one to justify response theory and Kubo’s formula in the absence of a global gap.

In another result we use local indistinguishability as an input to prove bulk-edge correspondence at finite temperature, in the sense that the bulk magnetisation is equal to the edge current. This result has mostly been studied for non-interacting models or at zero temperature before.

Finally, we present a class of weakly interacting spin systems with an on-site gap and prove that the ground state satisfies a strong form of LPPL. Moreover, we show that these systems satisfy decay of correlations and local indistinguishability uniformly in temperature.

Diese Arbeit analysiert mehrere Lokalitätseigenschaften von ausgedehnten Quanten-Gittersystemen, wobei wir Spin Systeme und Fermionen betrachten. Wir gehen zunächst von der Lokalität des Hamiltonian aus und analysieren dann, wie sich diese auf die Lokalität der Zeitentwicklung und der thermischen Zustände auswirkt.

Für lokale Hamiltonians ist die Lokalität der Heisenberg-Zeitentwicklung bekannt und wird mittels Lieb-Robinson Schranken quantifiziert. Wir verbessern diese Schranken für Fermionen mit langreichweitigen Wechselwirkungen und für Systeme mit kommutierenden Wechselwirkungen. Darüber hinaus zeigen wir die ersten Lieb-Robinson Schranken für Hamiltonians, deren lokale Terme im Abstand zum Ursprung linear anwachsen. Wir beweisen auch die Stabilität der Lieb-Robinson Schranken in Bezug auf lokale Störungen im Hamiltonian.

Für die thermischen Zustände konzentrieren wir uns auf drei Arten von Lokalität, die als Korrelationsabfall (decay of correlations), lokale Störungen stören lokal (local perturbations perturb locally, LPPL) und lokale Ununterscheidbarkeit (local indistinguishability) bekannt sind. Als wichtigstes Werkzeug verwenden wir spektrale Filter, die von Hastings in den 2000er Jahren für verschiedene Anwendungen eingeführt wurden. Sie ermöglichen es, Lieb-Robinson Schranken zu verwenden, um Informationen über die Lokalitätseigenschaften von Zuständen zu erhalten. Insbesondere verwenden wir Quanten Glaubensausbreitung (quantum belief propagation), um eine Äquivalenz zwischen dem Korrelationsabfall, LPPL und lokaler Ununterscheidbarkeit für Gibbs-Zustände bei jeder positiven Temperatur zu beweisen. Mit den zuvor erwähnten verbesserten Lieb-Robinson Schranken erhalten wir auch Verbesserungen für den Korrelationsabfall im Grundzustand, die Lokalität des Spektralflusses und LPPL für langreichweitige Wechselwirkungen und kommutierende Hamiltonians. Außerdem verändern wir die Filterfunktionen, um einen exponentiellen Abfall für bestimmte Anwendungen zu bekommen, die zuvor nur mit gestrecktem exponentiellen Abfall bekannt waren.

Spektrale Filter werden auch verwendet, um die lineare Antworttheorie mathematisch zu rechtfertigen, was meist ein System mit spektraler Lücke erfordert. Um diese Annahme zu lockern, führen wir verschiedene Begriffe der lokalen Lücke ein, diskutieren deren Relationen und nutzen eine Variante, um die lineare Antworttheorie und Kubos Formel in Abwesenheit einer globalen Lücke zu rechtfertigen.

In einem weiteren Ergebnis verwenden wir die lokale Ununterscheidbarkeit als Annahme, um Volumen-Rand-Korrespondenz bei positiver Temperatur zu zeigen. Genauer gesagt zeigen wir, dass die Volumen-Magnetisierung gleich dem Randstrom ist. Dieses Ergebnis wurde bisher hauptsächlich für nicht wechselwirkende Modelle oder im Grundzustand untersucht.

Schließlich stellen wir eine Klasse von schwach wechselwirkenden Spin Systemen vor, deren Einzelsysteme an jedem Gitterpunkt ohne die Wechselwirkung eine spektrale Lücke aufweisen, und beweisen, dass der Grundzustand eine starke Form von LPPL erfüllt. Darüber hinaus zeigen wir, dass diese Systeme bei positiver Temperatur Korrelationsabfall und lokale Ununterscheidbarkeit erfüllen, und zwar mit Konstanten die unabhängig von der Temperatur sind.