Tropical Quiver Theory and Tropical Enumeration on Ruled Surfaces

Abstract

In dieser Dissertation beschäftigen wir uns mit verschiedenen Problemen in der linearen und enumerativen tropischen Geometrie.

In der linearen tropischen Geometrie betrachten wir zuerst linearen Abbildungen. Wir führen zwei neue Alternativen für lineare Abbildungen ein und vergleichen diese mit zwei bekannten Definitionen. Wir folgern neue Eigenschaften aller vier alternativen Definitionen. Insbesondere zeigen wir, dass die Kategorie der bewerteten Matroide mit affinen Morphismen bewerteter Matroide sehr ähnlich zur Kategorie der Matroide mit starken Abbildungen ist.

Anschlie{\ssend verwenden wir die neuen Definitionen und Eigenschaften um ein neues Forschungsprogramm aufzubauen, die tropische Köchertheorie. Das Ziel dieses Programms ist es, Ergebnisse aus der Darstellungstheorie und der lineare tropischen Geometrie durch die Forschung an tropischen Köcherdarstellungen und tropischen Köchergrassmannschen zu vereinen, um neue Einsichten in beiden Forschungsgebieten zu erhalten. Wir etablieren je-weils zwei analoge tropische Objekte für Köcherdarstellungen und Köchergrassmannsche - matroidale und bewertete matroidale Köcherdarstellungen, sowie tropikalisierte Köchergrass-mannsche und Köcherdresssche, und untersuchen die Korrespondenz verschiedener Charakterisierungen. Wir vergleichen die Konzepte und bestimmen, wann sich die tropikalisierte Köchergrassmannsche und die Köcherdresssche unterscheiden. Wir verwenden unsere Resultate zur Konstruktion und Analyse von linear degenerierten tropischen Fahnenvarietäten. Weiterhin beginnen wir mit der Einführung einer analogen polyedrischen Theorie.

In der enumerativen tropischen Geometrie untersuchen wir ein Zählproblem von Kurven auf Regelflächen mithilfe von tropischer Geometrie. Wir konstruieren neue kombinatorische Werkzeuge, die es uns erlauben die existierende Theorie zu erweitern um Kurven auf nichtorientierbaren Flächen zu zählen. Wir wenden unsere neuen Methoden auf zwei solcher Flächen an und beweisen einen Korrespondenzsatz, der besagt dass die tropische Zählung mit der algebraisch-geometrischen Zählung übereinstimmt. Weiterhin zeigen wir Regularitätsaussagen: die Funktion, die Tangentenbedingungen ihre korrespondierende Gromov-Witten-Invariante zuweist, ist quasipolynomiell, und die Erzeugendenfunktion im der vertikalen Komponente des Bigrades ist quasimodular.

In this thesis we investigate problems in linear and enumerative tropical geometry.

In the realm of linear tropical geometry, we introduce two notions of linear maps, and compare them to two preexisting notions of linear maps in valuated matroid theory. We further establish and prove many new properties of and connections between all four notions. We show that the category of valuated matroids with affine morphisms of valuated matroids has similar properties to the category of matroids with strong maps.

We use the uncovered relations to establish a new research program in tropical geometry, tropical quiver theory. This research program aims to bridge the gap between representation theory and linear tropical geometry by connecting the two areas of research through the study of matroidal quiver representations and their parameter spaces. We establish two tropical analogues of quiver representations and quiver Grassmannians - matroidal quiver representations and valuated matroidal quiver representations, as well as tropicalized quiver Grassmannians and quiver Dressians. We show their correspondence to classical quiver representations and quiver Grassmannians. We then study when the two tropical analogues of quiver Grassmannians coincide. We apply the new theory explicitly to study linear degenerations of tropical flag varieties, which aids in the pursuit of computing tropical flag varieties. Finally, we start on the quest of finding a polyhedral analogue of this theory, and give a conjecture of the structure of polytopes associated to matroidal quiver representations.

In the realm of enumerative tropical geometry, we tackle a curve counting problem on ruled surfaces. We expand the existing theory by developing tools that allow us to count curves in non-orientable surfaces. For two of these surfaces, we establish a tropical curve count and prove its correspondence to the algebraic-geometric Gromov-Witten invariant. Further, we prove regularity results: we show that the functions returning the Gromov-Witten invariants depending on the tangency conditions are quasi-polynomial, and that the generating series in the vertical part of the bidegree is quasi-modular.